그리고리 마르굴리스
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1. 개요
그리고리 마르굴리스는 러시아 출신으로 리투아니아 유대인 혈통을 가진 수학자이다. 1978년 필즈상을 수상했지만, 소련의 반유대주의로 인해 직접 수상하지 못했다. 그는 격자 이론, 에르고딕 이론, 표현론, 정수론, 조합론, 측도론에 기여했으며, 2005년 울프상을, 2020년 힐렐 푸르스텐버그와 함께 아벨상을 수상했다. 마르굴리스는 카즈단-마르굴리스 정리, 초강성 정리, 바나흐-루제비츠 문제 해결, 오펜하임 추측 해결, 익스팬더 그래프 구성 등 다양한 분야에서 중요한 업적을 남겼다.
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| 그리고리 마르굴리스 - [인물]에 관한 문서 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 출생일 | 1946년 2월 24일 |
| 출생지 | 모스크바, 소비에트 연방 |
| 국적 | 러시아, 미국 |
| 분야 | 수학 |
| 소속 기관 | 예일 대학교 |
| 학력 | 모스크바 국립 대학교 (이학사, 이학 석사, 철학 박사) |
| 박사 지도교수 | 야코프 시나이 |
| 박사 학위 논문 제목 | Anosov 흐름 이론의 몇 가지 측면에 대하여 |
| 박사 학위 취득 년도 | 1970년 |
| 박사 학위 논문 URL | 박사 학위 논문 |
| 주요 업적 | 디오판토스 근사 리 군 초강성 정리 산술성 정리 팽창 그래프 오펜하임 추측 |
| 수상 | 필즈상 (1978년) 로바쳅스키 상 (1996년) 울프 수학상 (2005년) 아벨상 (2020년) |
| 이름 (원어) | |
| 러시아어 | Григо́рий Алекса́ндрович Маргу́лис (그리고리 알렉산드로비치 마르굴리스) |
| 제자 | |
| 박사 제자 | 에마뉘엘 브뤼야르 오희 |
2. 생애 및 학력
(내용 없음)
2. 1. 초기 생애
그리고리 마르굴리스는 소련 모스크바의 러시아 가정에서 태어났으며, 리투아니아 유대인 혈통을 가지고 있다. 1962년, 16세의 나이로 국제 수학 올림피아드에서 은메달을 획득하며 일찍부터 수학적 재능을 보였다. 이후 모스크바 대학교에 진학하여 1970년 야코프 시나이의 지도 아래 에르고딕 이론 연구로 박사 학위를 받았다.그의 초기 연구는 데이비드 카즈단과 함께 진행되었으며, 이 공동 연구를 통해 이산군에 대한 기본적인 결과인 카즈단-마르굴리스 정리가 탄생했다. 1975년에는 리 군 내 격자들 사이에서 산술군을 특징짓는 고전적 추측 분야를 명확히 한 초강성 정리를 발표하며 학계의 주목을 받았다.
1978년, 마르굴리스는 수학 분야 최고 권위의 상인 필즈상 수상자로 선정되었으나, 당시 소련 내 유대인 수학자에 대한 반유대주의적 분위기와 제약으로 인해 핀란드 헬싱키에서 열린 시상식에 직접 참석하지 못했다.[5] 이는 당시 소련 체제가 학문의 자유와 인권을 제약했던 상황을 보여주는 사례로 여겨진다.
2. 2. 학력
wikitext| 기간 | 학력 | 비고 |
|---|---|---|
| 1962년 ~ 1967년 | 모스크바 국립 대학교 | 석사 |
| 1967년 ~ 1970년 | 모스크바 국립 대학교 | 박사 (야코프 시나이 지도) |
2. 3. 학문적 경력
1962년 16세의 나이로 국제 수학 올림피아드에서 은메달을 획득했다. 1970년 모스크바 대학교에서 야코프 시나이의 지도 아래 에르고딕 이론 연구를 시작하며 박사 학위를 받았다. 데이비드 카즈단과의 초기 연구를 통해 이산군에 대한 기본적인 결과인 카즈단-마르굴리스 정리를 발표했다. 1975년 발표한 그의 초강성 정리는 리 군 내 격자들 사이에서 산술군을 특징짓는 고전적 추측 분야를 명확히 했다.1978년 필즈상을 수상했으나, 당시 소련 내 유대인 수학자에 대한 반유대주의 정책 때문에 직접 핀란드 헬싱키를 방문하여 상을 받지는 못했다.[5] 이후 그의 입지는 다소 개선되어 1979년 독일 본을 방문할 수 있었고, 그 후로는 비교적 자유롭게 해외 방문이 가능해졌다. 하지만 그는 여전히 대학이 아닌 정보 전송 문제 연구소라는 연구 기관에서 근무했다. 1991년, 마르굴리스는 미국 예일 대학교의 교수직을 수락하여 자리를 옮겼다.
마르굴리스는 2001년 미국 국립 과학원 회원으로 선출되었고,[6] 2012년에는 미국 수학회의 펠로우가 되었다.[7]
2005년에는 격자 이론과 에르고딕 이론, 표현론, 정수론, 조합론, 측도론 등 다양한 분야에 기여한 공로로 울프상을 수상했다.
2020년에는 힐렐 푸르스텐버그와 함께 "군론, 정수론 및 조합론에서 확률론과 역학의 방법론을 개척한 공로"를 인정받아 아벨상을 공동 수상했다.[8]
3. 주요 연구 업적
그리고리 마르굴리스는 리 군 이론, 에르고딕 이론, 수론, 조합론 등 수학의 여러 분야에 걸쳐 중요한 업적을 남겼다. 그의 연구는 특히 군론과 동역학계의 상호작용을 탐구하는 데 중점을 두었다.
마르굴리스의 초기 연구는 카즈단의 성질 (T)와 격자의 강성(rigidity) 및 산술성(arithmeticity) 문제에 집중되었다. 그는 반단순 대수군의 높은 랭크 격자에 대한 연구를 통해, 이러한 격자들이 대부분 '산술 격자'임을 증명하는 산술성 정리와 격자의 준동형사상이 군 전체의 준동형사상으로 확장된다는 초강성 정리를 확립했다.[1][2] 이는 보렐, 하리쉬-찬드라 등이 연구한 산술 격자의 개념을 일반화하고 격자 분류에 중요한 기여를 한 것으로 평가받는다. 마르굴리스의 접근 방식은 기존의 강성 이론을 넘어서는 새롭고 강력하며 우아한 방법론을 제시했다.
또한 마르굴리스는 측도론 분야에서 바나흐와 루제비츠가 제기한 바나흐-루제비츠 문제를 해결하였다. 그는 ''n'' ≥ 4인 경우, ''n''-차원 구면 위에서 유일하게 정규화되고 회전 불변인 유한 가산 측도는 르베그 측도임을 증명했다. 이 결과는 데니스 설리반에 의해서도 거의 동시에 독립적으로 얻어졌다.[3]
조합론 분야에서는 그래프 이론의 중요한 대상인 익스팬더 그래프의 첫 번째 구체적인 구성을 제시했으며, 이는 이후 라마누잔 그래프 이론으로 발전하는 데 기여했다.[4]
1986년에는 수론 분야의 오랜 난제였던 오펜하임 추측을 완전히 해결하였다. 이 추측은 이차 형식의 값 분포와 디오판토스 근사에 관한 문제로, 마르굴리스는 동역학계 이론과 군론적 방법을 사용하여 반세기 이상 해결되지 않았던 이 문제를 증명했다.[5][6] 그는 이 연구를 바탕으로 리틀우드 추측과 같은 관련 문제에 대한 후속 연구 방향을 제시하기도 했다.
3. 1. 카즈단-마르굴리스 정리
그리고리 마르굴리스의 초기 연구는 카즈단의 성질 (T)와 격자(lattice)의 강성(rigidity) 및 산술성(arithmeticity) 문제, 특히 반단순 대수군의 국소체에 대한 높은 랭크(rank)와 관련된 것이었다. 1950년대부터 보렐, 하리쉬-찬드라 등에 의해 반단순 리 군의 부분군을 구성하는 간단한 방법, 즉 '산술 격자'를 만드는 방법이 알려져 있었다. 이는 예를 들어, 행렬의 모든 성분이 정수인 실수 특수 선형 군 ''SL''(''n'','''R''')의 부분군 ''SL''(''n'','''Z''')를 생각하는 것과 유사하다.마르굴리스는 특정 조건(군 ''G''가 컴팩트 인자(compact factor)가 없고 분할 랭크(split rank)가 2 이상) 하에서, ''모든'' 기약(irreducible) 격자 ''Γ'' ⊂ ''G''가 사실상 산술적임을 증명했다. 즉, 이러한 격자들은 위에서 설명한 산술적인 방식으로 구성될 수 있다는 것이다. 결과적으로, 격자 ''Γ''는 ''G''의 부분군 ''G''('''Z''')와 가측(commensurable)하다. 이는 두 군이 유한한 지수(index)를 갖는 부분군에서 서로 일치한다는 의미이다. 산술 격자는 그 구성 방식 때문에 명확히 정의되지만, 일반적인 격자는 특정 속성으로만 정의된다. 따라서 마르굴리스의 이 결과는 격자를 분류하는 중요한 길을 열었다.
산술성은 마르굴리스가 발견한 격자의 또 다른 중요한 속성인 초강성(superrigidity)과 밀접하게 연관되어 있다. 초강성이란, 대략적으로 말해 군 ''G'' 안의 격자 ''Γ''에서 실수 가역 ''n'' × ''n'' 행렬 군으로 가는 모든 준동형(homomorphism)이 실제로는 전체 군 ''G''로 확장될 수 있다는 성질이다. 이 이름은 다음과 같은 더 강력한 정리에서 유래했다:
: ''G''와 ''G'''가 컴팩트 인자가 없고 분할 랭크가 2 이상인 국소체 위의 반단순 대수군이고, ''Γ'' ⊂ ''G''와 ''Γ''' ⊂ ''G'''가 이들 안의 기약 격자라고 하자. 그러면 격자 사이의 모든 준동형 ''f'': ''Γ'' → ''Γ'''는 ''Γ''의 유한 지수 부분군 상에서 대수 군 자체 사이의 준동형과 일치한다.
만약 ''f''가 동형 사상(isomorphism)인 경우, 이를 강한 강성(strong rigidity)이라고 부른다. 이전에도 특정 강성 현상들이 알려져 있었지만, 마르굴리스의 접근 방식은 새롭고 강력하며 매우 우아하다는 평가를 받는다.
또한 마르굴리스는 바나흐–루제비츠 문제를 해결했다. 이 문제는 르베그 측도가 ''n''-차원 구면 위에서 유일하게 정규화되고 회전 불변인 유한 가산 측도인지를 묻는 질문이었다. 마르굴리스는 ''n'' ≥ 4일 때 그렇다는 것을 증명했으며, 이는 데니스 설리반에 의해 거의 동시에 독립적으로 이루어졌다. 이 증명은 카즈단의 성질 (T)를 갖는 직교 군의 특정 조밀 부분군을 구성하는 데서 비롯되었다.
그는 익스팬더 그래프의 첫 번째 구체적인 구성을 제시했으며, 이는 이후 라마누잔 그래프 이론으로 일반화되었다.
1986년에는 이차 형식과 디오판토스 근사(Diophantine approximation)에 관한 오펜하임 추측을 완전히 해결했다. 이 문제는 반세기 이상 미해결 상태였으며, 하디-리틀우드 원 방법을 통해 일부 진전이 있었으나, 변수의 수를 줄여 최상의 결과를 얻기 위해서는 군론적이고 구조적인 방법이 결정적이라는 것이 마르굴리스의 연구를 통해 증명되었다. 그는 이 연구를 바탕으로 리틀우드 추측을 포함한 추가적인 연구 프로그램을 제시하기도 했다.
3. 2. 초강성 정리 (Margulis Superrigidity Theorem)
그리고리 마르굴리스의 초기 연구는 카즈단의 성질 (T)와 격자의 강성(rigidity) 및 산술성(arithmeticity) 문제, 특히 반단순 대수군의 높은 랭크(분할 랭크가 2 이상)에 관한 것이었다. 1950년대부터 보렐, 하리쉬-찬드라 등은 반단순 리 군의 부분군을 만드는 방법으로 '산술 격자'라는 개념을 제시했다. 이는 예를 들어, 행렬의 모든 성분이 정수인 실수 특수 선형 군 ''SL''(''n'','''R''')의 부분군 ''SL''(''n'','''Z''')와 같이 구성되는 격자를 의미한다.마르굴리스는 특정 조건(군 ''G''에 컴팩트 인자가 없고 분할 랭크가 2 이상) 아래에서, 모든 기약 격자 ''Γ''가 사실상 산술적이라는 것을 증명했다. 즉, 어떤 기약 격자라도 위에서 설명한 산술 격자와 같은 방식으로 얻어질 수 있다는 것이다. 이는 격자 ''Γ''가 ''G''의 특정 부분군 ''G''('''Z''')와 가환 가능하다는 의미이며, 두 군은 유한한 지수를 갖는 부분군에서 서로 일치한다. 이 결과는 격자를 분류하는 데 중요한 기여를 했다.
이러한 산술성은 마르굴리스가 발견한 격자의 또 다른 중요한 성질인 초강성(Superrigidity)과 밀접하게 연관되어 있다. 초강성 정리는 대략적으로 다음과 같이 설명할 수 있다: 군 ''G''의 격자 ''Γ''에서 다른 군(예: 실수체 위의 가역 ''n'' × ''n'' 행렬 군)으로 가는 모든 준동형은, 실제로는 ''Γ''가 속한 전체 군 ''G''에서 나가는 준동형으로 확장될 수 있다는 것이다.
더 정확하게 초강성 정리는 다음과 같이 기술된다:
''G''와 ''G'''가 컴팩트 인자가 없고 분할 랭크가 2 이상인 국소체 위의 반단순 대수군이고, ''Γ''와 ''Γ''가 각각 ''G''와 ''G''' 안의 기약 격자라고 하자. 이때, 두 격자 사이의 모든 준동형 ''f'': ''Γ'' → ''Γ''는 ''Γ''의 유한 지수 부분군에서 시작하여, 군 ''G''와 ''G''' 사이의 대수적 준동형과 일치한다.
만약 이 준동형 ''f''가 동형 사상인 특별한 경우는 강한 강성(strong rigidity)이라고 부른다. 이전에도 특정 강성 현상들은 알려져 있었지만, 마르굴리스의 접근 방식은 새롭고 강력하며 매우 우아하다는 평가를 받는다.
3. 3. 바나흐-루제비츠 문제 해결
마르굴리스는 바나흐와 루제비츠가 제기한 바나흐–루제비츠 문제를 해결했다. 이 문제는 르베그 측도가 ''n''-차원 구면 위에서 유일하게 정의될 수 있는, 회전에 대해 변하지 않고 정규화된 유한 가산 측도인지 묻는 질문이었다. 마르굴리스는 ''n'' ≥ 4인 경우에 대해 이 문제가 참임을 증명했다. 이 결과는 데니스 설리반에 의해서도 거의 같은 시기에 독립적으로 증명되었다. 이 증명은 성질 (T)를 가지는 직교 군의 특정 조밀한 부분군을 구성하는 과정에서 나왔다.3. 4. 오펜하임 추측 해결
1986년, 마르굴리스는 이차 형식과 디오판토스 근사에 관한 오펜하임 추측을 완벽하게 해결했다. 이 추측은 반세기 동안 해결되지 않은 난제였으며, 하디-리틀우드 원 방법을 통해 상당한 진전이 있었지만, 변수의 수를 줄이는 데에는 군론에 기반한 구조적인 접근 방식이 결정적인 역할을 했다. 마르굴리스는 이 해결을 바탕으로 리틀우드 추측을 포함한 추가적인 연구 방향을 제시하는 프로그램을 수립했다.3. 5. 익스팬더 그래프와 라마누잔 그래프
마르굴리스는 익스팬더 그래프의 첫 번째 구성을 제시했으며, 이는 나중에 라마누잔 그래프 이론으로 일반화되었다.4. 수상 경력
그는 1978년 필즈상을 수상했지만, 당시 소련 내 유대인 수학자에 대한 반유대주의적 분위기 때문에 헬싱키에서 열린 시상식에 직접 참석하지 못했다.[5] 이후 2005년에는 격자 이론과 에르고딕 이론, 표현론, 정수론, 조합론, 측도론에 대한 기여를 인정받아 울프상을 수상했다. 2020년에는 힐렐 푸르스텐버그와 함께 "군론, 정수론 및 조합론에서 확률론과 역학의 방법론을 개척한 공로"로 아벨상을 공동 수상했다.[8]
마르굴리스는 2001년 미국 국립 과학원 회원으로 선출되었으며,[6] 2012년에는 미국 수학회의 펠로우가 되었다.[7]
주요 수상 내역은 다음과 같다.
| 수상 연도 | 상 이름 | 비고 |
|---|---|---|
| 1978년 | 필즈상 | 소련 내 반유대주의로 인해 직접 수상하지 못함.[5] |
| 1995년 | 훔볼트 상 | |
| 2005년 | 울프 수학상 | 격자 이론, 에르고딕 이론, 표현론, 정수론, 조합론, 측도론 기여 공로 |
| 2020년 | 아벨상 | 힐렐 푸르스텐버그와 공동 수상, 군론, 정수론, 조합론에서 확률론/역학 방법론 개척 공로[8] |
5. 저서
- [''반단순 리 군의 이산 부분군'' https://books.google.com/books/about/Discrete_Subgroups_of_Semisimple_Lie_Gro.html?id=V9z2cjHOhVoC]. 수학 및 관련 분야의 결과 (3), 17. 슈프링어 출판사, 베를린, 1991. x+388쪽. ISBN 3-540-12179-X. MR1090825.[9]
- ''아노소프 시스템 이론의 몇 가지 측면에 관하여''. 리처드 샤프의 조사와 함께: 쌍곡 흐름의 주기 궤도. 발렌티나 블라디미로브나 슐리코프스카야가 러시아어에서 번역. 슈프링어 출판사, 베를린, 2004. vi+139쪽. ISBN 3-540-40121-0. MR2035655.[10]
- ''강성 이론의 문제와 예상'' (''수학의 최첨단 21세기로의 도전 volume6'' 수록). 나야 신 역, 슈프링어 재팬.
참조
[1]
웹사이트
Gregory Margulis
http://www.nasonline[...]
[2]
웹사이트
Gregory Margulis
http://www.nasonline[...]
[3]
뉴스
Abel Prize in Mathematics Shared by 2 Trailblazers of Probability and Dynamics
https://www.nytimes.[...]
2020-03-18
[4]
웹사이트
Yale's Margulis Wins 2005 Wolf Prize for Mathematics
http://opa.yale.edu/[...]
Yale University Office of Public Affairs
2005-02-23
[5]
논문
Anti-Semitism Alleged in Soviet Mathematics
[6]
간행물
National Academy of Sciences Elections.
http://www.ams.org/n[...]
[7]
웹사이트
List of Fellows of the American Mathematical Society
http://www.ams.org/p[...]
2013-02-02
[8]
뉴스
Abel Prize in Mathematics Shared by 2 Trailblazers of Probability and Dynamics
https://www.nytimes.[...]
2020-03-18
[9]
논문
Review: ''Discrete subgroups of semisimple Lie groups'', by G. A. Margulis
http://www.ams.org/j[...]
[10]
논문
Review: ''On some aspects of the theory of Anosov systems'', by G. A. Margulis, with a survey "Periodic orbits of hyperbolic flows", by Richard Sharp
http://www.ams.org/j[...]
[11]
웹사이트
Gregory Margulis
http://www.nasonline[...]
2023-11-24
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